فلسفۀ ریاضیات

بیگ بنگ: فلسفه ریاضیات اساسا عبارت است از بازسازی مجدانه ای که در آن به توده ی بی نظم معرفت ریاضی که طی سالیان متمادی بر هم انباشته شده معنی یا نظم خاصی داده می شود. روشن است که فلسفه تابعی از زمان است و فلسفه خاصی ممکن است با گذشت زمان منسوخ یا در پرتو تجارب اضافی تغییر یابد. امروزه سه فلسفه اصلی ریاضی وجود دارد که در این مقاله به شرحی مختصر از آنها می پردازیم.

mathematics
۱- منطق گرایی: مفسرین عمده آن راسل و وایتهد هستند. تز منطق گرا می گوید که ریاضیات شاخه ای از منطق است. بجای آنکه منطق ابزاری برای ریاضیات باشد، منطق پیشرو ریاضیات می شود. همه مفاهیم ریاضی باید در قالب مفاهیم منطقی تدوین شوند. تمایز بین ریاضیات و منطق صرفا به عملی برای تسهیل کار در می آید. مفهوم منطق به عنوان علمی در بر دارنده اصول و ایده های زمینه ساز همه علوم دیگر حداقل به زمان لایبنیتس باز می گردد. تحویل عملی مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی توسط ددکیند و فرگه انجام شد و “پئانو” مبادرت به بیان قضایای ریاضی به کمک نمادگرایی منطقی نمود. از این رو این دانشمندان پیشگامان مکتب منطق گرا هستند که بیان قاطع آن در کتاب تاریخی “پرینسیپیا ماتماتیکای”( اصول ریاضیات) راسل و وایتهد متبلور شد. این اثر عظیم و پیچیده در صدد آن است که به تفصیل همه ریاضیات را به منطق تحویل نماید.

۲- شهود گرایی: این مکتب به رهبری براوئر به وجود آمد. تز شهود گرا آن است که ریاضیات باید منحصرا توسط تعدادی متناهی از روش های سازنده درباره دنباله اعداد طبیعی که بطور شهودی در نظر گرفته شده اند، بنا شود. لذا مطابق این نظر در زیر بنای ریاضیات شهود اولیه ای قرار دارد که بدون تردید با حس گذرایی قبل و بعد در وجود ما همراه است و به ما اجازه می دهد چیزی واحد، سپس یکی دیگر و همین طور تا بی نهایت را تصور کنیم. بدین ترتیب دنباله های بی انتها را بدست می آوریم که معروفترین آنها دستگاه اعداد طبیعی است. برخی از پیامدهای تز شهود گرا جنبه انقلابی دارند. مثلا پافشاری بر روش های سازنده به تصوری از وجود در ریاضیات منجر می شود که آن چیزی نیست که همه ریاضی دانان به آن اعتقاد داشته باشند. برای شهود گرایان، هستی که اثبات وجود آن لازم است، باید در تعدادی مراحل متناهی ساختنی باشد، کافی نیست که فرض عدم وجود آن هستی منجر به تناقض شود. این بدان معنی است که بسیاری از براهین وجودی زیادی که در ریاضیات کنونی دیده می شوند، برای شهودگرایان قابل قبول نیستند.

۳- صوری گرایی: مکتب صوری گرا توسط دیوید هیلبرت بعد از اتمام کارش در بررسی اصل موضوعی هندسه تاسیس شد. تز صوری گرا این است که ریاضیات با دستگاه های نمادی صوری سر و کار دارد. در واقع، ریاضیات مجموعه ای از آن مباحث مجرد تلقی می شود که در آن اصطلاحات صرفا نمادهایی هستند و احکام قواعدی متضمن این نمادها، پایه غایی ریاضیات در منطق قرار ندارد و بلکه تنها در مجموعه ای از نشانه ها یا نمادهای پیش منطقی و در مجموعه ای از اعمال با این نشانه ها واقع است. چون از این دیدگاه، ریاضیات عاری از محتوای ملموس و تنها شامل عناصر نمادی ارمانی است، برقراری سازگاری شاخه های مختلف ریاضیات قسمت مهم و لازمی از برنامه صوری گرایی می شود. بدون همراهی چنین برهان سازگاری، تمام مبحث اساسا بی معنی خواهد شد. در تز صوری گرا بسط اصل موضوعی ریاضیات در بیشترین حد دنبال می شود.

توفیق یا شکست برنامه هیلبرت برای نجات ریاضیات کلاسیک در گرو حل مسئله سازگاری است. برای دستگاه های مقدماتی معینی، براهین سازگاری فراهم شدند که آنچه را هیلبرت میل به انجام آن برای همه ریاضیات کلاسیک داشت، نشان می دهند ولی در کل مسئله ناسازگاری برای دستگاه بدون چاره ماند. در حقیقت، برنامه هیلبرت حداقل به شکلی که در اصل در ذهنش بود، ظاهرا محکوم به شکست بود. این حقیقت توسط کورت گودل در سال ۱۹۳۱ عملا قبل از آنکه انتشار مبانی انجام شود، آشکار گردید. گودل به کمک روش های بی ایراد قابل قبول برای پیروان هر یک از سه مکتب اصلی فلسفه ریاضیات، نشان داد که برای یک دستگاه قیاسی که به حد کافی صوری شده باشد، نظیر دستگاه هیلبرت برای همه ریاضیات کلاسیک، اثبات سازگاری دستگاه به کمک روش های متعلق به خود آن دستگاه میسر نیست. این قضیه قابل توجه پیامد قضیه اساسی تری است، گودل ناکامل بودن دستگاه هیلبرت را ثابت کرد، یعنی وی وجود مسائل تصمیم ناپذیر داخل دستگاه که سازگاری دستگاه از آن جمله بود را نشان داد. این قضایا مطمئنا در زمره مهمترین قضایای تمامی ریاضیات قرار دارند و محدودیت پیش بینی نشده ای را در روش های ریاضیات صوری آشکار می سازند.

نویسنده: میلاد اسکندر دوست/ سایت علمی بیگ بنگ

منبع: تاریخ ریاضیات نوشته: هاورد و.ایوز

image_pdfimage_print
(15 نفر , میانگین : 4٫67 از 5)
لینک کوتاه مقاله : http://bigbangpage.com/?p=24277
میلاد اسکندردوست

میلاد اسکندردوست

نویسنده این مطلب : میلاد اسکندردوست، در رشتۀ مهندسی صنایع تحصیل کرده است. علاقمند به مطالعه و پژوهش در زمینه ی فیزیک، ریاضیات، نجوم و علوم بنیادی میباشد و در زمینه نگارش مقاله با وب سایت بیگ بنگ همکاری می کند.

شما ممکن است این را هم بپسندید

۳ پاسخ‌ها

  1. behzad گفت:

    سلام.سایت بسیار عالی و به روزی دارید.لطف کنید اگه میشه یه قسمت searchهم بذارید

  2. محمد رضا گفت:

    سلام .سایت شما در بین سایت های علمی فارسی زبان بی نظیر.اگه بتونید کتاب هایی که تفاوت دیدگاهای فلسفی و فیزیکی رو در مسائل هستی شناختی و معرفت شناختی نشون میده و هر دیدگاه رو تحلیل میکنه بذارید خیلی عالی میشه.از سایت خوبتون ممنون

پاسخ دهید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *