مروری بر پژوهش های ریاضی مریم میرزاخانی

بیگ بنگ: کارهای ریاضی دکتر مریم میرزاخانی با معرفی ایده هایی کاملا جدید و پیوند دادن شاخه های مختلفی از ریاضیات،پیشرفت های بسیار مهمی را در مطالعه ی رویه های ریمانی و خانواده های آن ها رقم زده است. شاخه هایی نظیر هندسه ی هذلولوی،آنالیز مختلط، توپولوژی،سیستم های دینامیکی و هندسه ی جبری شمارشی در کارهای میرزاخانی به هم پیوند می خورند.

به گزارش بیگ بنگ، رساله ی دکتری مریم میرزاخانی، در کنار نتایج مهم و ارزنده ی دیگر،و نوآوری های فراوان، اثباتی جدید از حدس ادوارد ویتن، که مکسیم کنتسویچ به خاطر اولین اثبات آن در سال ۱۹۹۸ جایزه ی فیلدز را دریافت کرد، در خودداشت. این رساله خیلی زود مورد توجه تعداد زیادی از ریاضی دانان قرار گرفت. در سال های بعد میرزاخانی موفق به اثبات ارگودیک بودن شارتستن(۲۰۰۸) شد و سپس در پروژه ی مشترک با اسکین(و در بخش مشترک با محمدی) نظریه ی رایتنر را توسعه داد و نتایج مختلفی از آن گرفته شد(۲۰۱۲).

این پژوهش های ارزشمند باعث شد که یکی از مدال های فیلدز سال ۲۰۱۴ از سوی کنگره ی بین المللی ریاضیدانان به میرزاخانی تعلق گیرد، تا او اولین زن و اولین ایرانی دریافت کننده ی این جایزه باشد. برخی از قضیه هایی را که دکتر مریم میرزا خانی در آنها پژوهش کرده است را در زیر بازگو می کنیم:

قضیه ی اسکین-میرزاخانی-محمدی (۲۰۱۲)

برای هر چند ضلعیP با زوایای گویا به طور میانگین برقرار است، به عبارت دیگر حد زیر برای هر چند ضلعی P وجود دارد.

قضیه ی میرزاخانی (۲۰۰۴)

این قضیه در واقع قضیه ی اعداد اول برای ژئودزیک های ساده ی بسته روی رویه های هذلولوی می باشد.

قضیه ی میرزاخانی (۲۰۰۴)

که در آن N=3g-3+n می باشد. چند جمله ای های مورد نظر با روش بازگشتی قابل محاسبه می باشند.

حدس ویتن-قضیه ی کنتسویچ (۱۹۹۲)

انتگرال های

برای دنباله های α از اعداد صحیح نامنفی که در رابطه ی زیر صدق می کنند با روشی بازگشتی قابل محاسبه هستند.
حدس ویتن در سال ۱۹۹۲ توسط کنتسویچ به اثبات رسید و این اثبات از دلایل مهم اعطای مدال فیلدز به کنتسویچ در سال ۱۹۹۸ بود. میرزاخانی نشان داد که این انتگرال ها در واقع تعدادی از ضرایب چند جمله ای های حجمP هستند که او راه روشنی برای محاسبه ی بازگشتی آن ها یافته بود. این قضیه به صورت زیر بیان می گردد: