قاعده پائولی و یا قاعده غیر امکان و یا اصل طرد پائولی ( Pauli exclusion principle)نامیده شده به اسم کشف‌کننده‌اش، ولفگانگ پاولی، قاعده‌ای بسیار مهم و اساسی در مکانیک کوانتومی می‌باشد، که بر طبق آن دو و یا تعداد بیشتری فرمیون همسان (به عنوان مثال دو الکترون) در یک سیستم کوانتومی، نمی‌توانند هم‌زمان در تمام اعداد کوانتومی مقدار یکسانی داشته باشند. (مثلا بطور همزمان در یک مکان باشند).  به عبارتی، اشغال یک حالت کوانتومی توسط دو فرمیون همسان، در یک زمان غیر ممکن می‌باشد.

 این اصل برای درک پدیده‌های مختلف ، از ذرات بنیادی گرفته تا ساختار ستاره‌ها ، نقش اساسی ایفا می‌کند.  از نتایج مهم این قاعده این است که برای فرمیون‌ها هیچ چگالشی وجود ندارد .

سیر تحولی و رشد

در سال 1924، “ادموند استونر” برای اتمها مدلی پیشنهاد کرد که با تجربیات طیف نمایی و جدول تناوبی سازگار بود و در آن ، هر الکترون اتمی سه عدد کوانتومی ، به‌ترتیب ، متناظر با اعداد کوانتومی و تکانه زاویه‌ای مداری بود.

هنگامي‌که مدل اتمی بوهر با موفقیت ارائه و پذیرفته شد، این پرسش مطرح شد که الکترونها در سیستم سنگین چگونه سازمان پیدا می‌کنند؟ معادله شرودینگر هیچگونه جواب قانع کننده ای برای این پرسش نداشت. چون مطابق این معادله اگر دمای یک سیستم را به دمای نزدیک به دمای صفر مطلق نزدیک کنیم، آنگاه انتظار می‌رود که تمام لکترونهای یک اتم به پایینترین سطح انرژی (n=1) منتقل شوند، اما نتایج تجربی طیف شناسها را نمی‌توان با این فرض توضیح داد. تا اینکه “ولفگانگ پاولی” توانست این معما را حل کند. وی نظریه‌ای پیشنهاد داد که امروزه این نظریه به اصل طرد پاولی معروف است.

اعداد کوانتومی الکترون ها عبارتند از:

عدد کوانتومی اصلی که با n نشان داده می‌شود.

عدد کوانتومی مداری که با L نشان داده می‌شود.

عدد کوانتومی مغناطیسی که با m نشان داده می‌شود.

عدد کوانتومی اسپین که با s نشان داده می‌شود.

در اتمهاي چند الكتروني، الكترونها، ترازهاي انرژي را به ترتيب پايداري آنها اشغال مي‌كنند. يعني ابتدا ترازي كه در سطح پايين‌تري قرار دارد و درنتيجه پايدارتر است، از الكترون اشغال يا پر مي‌شود و پس از پر شدن آن تراز، الكترونهاي بعدي به تراز پايدارتر بعدي (كه پايداري آن از ترازي كه پر شد كمتر است) وارد مي‌شوند. اين اصل را از اين نظر، اصل بناگذاري اتم ناميده‌اند كه با افزودن تدريجي الكترون به ترازهاي انرژي اتم هيدروژن (با رعايت پايداري نسبي اين ترازها)، مي‌توان آرايش الكتروني اتمهاي ديگر را بدست آورد. يك الگو براي ترتيب پايداري الكترونها الگوي مثلثي مي‌باشد كه اوربيتالها به صورت يك مثلث قرار گرفته‌اند.

براي تعيين آرايش الكتروني اتمها علاوه بر اينكه بايد ترتيب انرژي و پايداري ترازها مورد توجه قرار گيرد، در مورد چگونگي اشغال شدن اوربيتالها به وسيله الكترونها نيز اصول و قواعدي وجود دارد كه بايد رعايت شوند. دو اصل و قاعده مهم عبارتند از:

1-     اصل‌ طرد پائولي

2- قاعده‌ي هوند

اصل طرد پائولي را مي‌توان اين طور بيان كرد كه ” در هيچ اتمي نمي‌توان دو الكترون يافت كه چهار عدد كوانتومي n , l , ml , ms يكسان داشته باشند.” با توجه به اينكه هر تراز فرعي داراي اعداد كوانتومي n و l مشخص و ثابتي است، چند اوربيتالي كه در يك تراز فرعي قرار مي‌گيرند، در مقادير ml متفاوت هستند. به عنوان مثال مقاديرn و l براي سه اوربيتال 3p يكسان مي‌باشد( n=3 , l=1) اما مقادير ml براي سه اوربيتال px , py , pz متفاوت بوده برابر -1 و 0 و +1 مي‌باشد. بنا به اصل طرد پائولي تك الكترونهايي كه وارد اين سه اوربيتال مي‌شوند، مي‌توانند داراي اسپين‌هاي يكسان ms هاي يكسان باشند، زيرا در مقادير ml متفاوتند و اصل طرد پائولي حفظ مي‌شود.

اما از آنجا كه هر اوربيتال گنجايش دو الكترون دارد و هر دو الكترون يك اوربيتال به عنوان مثال اوربيتال 3py داراي سه عدد كوانتومي n , l , ml يكسان هستند، براي حفظ اصل طرد پائولي بايد عدد كوانتومي آخر آنها يعني ms متفاوت باشد. عدد كوانتومي اسپين الكترون نيز فقط دو مقدار 2/1 + و 2/1- را مي‌تواند داشته باشد. پس الكترونهاي موجود در يك اوربيتال براي اينكه چهار عدد كوانتومي آنها يكسان نشود، يكي داراي ms=-1/2 و ديگري داراي ms=+1/2 مي‌گردند.

پس براي رعايت اصل طرد پائولي، فقط دو الكترون مي‌تواند در هر اوربيتال وارد شود. زيرا اگر الكترون سومي وارد شود، در آن صورت عدد كوانتومي اسپين آن با يكي از دو الكترون قبلي برابر شده و درنتيجه اصل طرد پائولي نقض خواهد شد.

قاعده هوند هم بيان مي‌كند كه هر گاه الكترونها، چند اوربيتال هم‌تراز در اختيار داشته باشند، ابتدا به هر اوربيتال يك الكترون وارد مي‌شود و وقتي هر يك از اوربيتالها داراي يك الكترون شدند، آنگاه الكترونهاي بعدي، وارد اوربيتالهاي تك الكتروني شده و آنها را جفت مي‌كنند. اساس قاعده هوند بر اين است كه از آنجا الكترونها داراي بار منفي هستند، هر چه در اوربيتالهاي يك تراز بيشتر پخش شوند، فاصله بيشتري با يكديگر پيدا كرده و ميزان دافعه الكتروستاتيكي بين آنها كاهش يافته و اتم وضعيت پايدارتري پيدا مي‌كند.

شرط برقراری اصل طرد پاولی

در پی ظهور مکانیک موجی در 1926 ، “پاول ویراک” و مستقل از او ، “ورنر هایزنبرگ” نشان دادند که اگر تابع موج سیستمهای الکترونی پاد متقارن باشد، یعنی اگر بر اثر تعویض تمام مختصات هر زوج الکترونی از جمله اسپین آنها تابع موج تغییر علامت بدهد، اصل طرد پاولی خود به خود برقرار خواهد شد. به عبارت کلّی‌تر ، تابع موج هر سیستمی از ذرات یکسان باید براثر تعویض تمام مختصات هر دو ذره‌ای یا بدون تغییر بماند که در این صورت ذرات بوزن نامیده می‌شوند.

اسپین بوزون مضرب درستی از ħ/2 است. در صورتی که اسپین فرمیونها مضرب فردی از (ħ/2 و1/2 ħ/2 , 3/2 ħ/2 …) است. فقط فریونها از اصل طرد پاولی پیروی می‌کنند، در نظریه ، این وابستگی بین اسپین و آمار ذرات را یک واقعیت تجربی تلقی می‌کنند، در صورتی که در نظریه میدان الکتریکی کوانتومی نیستند، همانطور که پاولی در سال 1940 در اثر معروف قضیه اسپین – آمار خود نشان داد و این وابستگی یک پیامد کلی علیتی به‌حساب می‌آید.

ویژگی اصل طرد پاولی

اصل طرد برخی از بنیادی‌ترین ویژگی‌های ماده را در تمامی اشکالش توصیف می‌کند. اگر به خاطر اصل طرد پاولی نبود، تمام اتمها در اصل ساختار الکترونی یکسانی می‌داشتند و این ساختار به‌صورت پوسته‌ای از الکترونها در اطراف هسته در می‌آمد. هیدروژن و هلیوم در واقع یک پوسته دارند، اما برای لیتیوم که سه الکترون دارد، وضعیت فرق می‌کند. دو الکترون اول ، اوربیتال (یا حالت انرژی) یکسانی را با اسپینهای متقابل اشغال می‌کنند. اما به‌علت اصل طرد پاولی ، الکترون سوم باید به اوربیتال جدیدی برود که به‌طور متوسط از هسته دورتر است. به این ترتیب ، بر خلاف هلیوم ، لیتیم براحتی یونیده می‌شود و در واکنشهای شیمیایی شرکت می‌کند.

اصل طرد پاولی در هسته‌ها

در ساختار پوسته‌ای هسته‌ها هم با وضعیت مشابهی رو برو می‌شویم. چون پروتون و نوترون می‌توانند از طریق برهمکنش ضعیف به یکدیگر تبدیل شوند و در همان حال هر دو تحت تأثیر نیروهای هسته‌ای مشابهی قرار دارند به بقیه است که آنها را به عنوان دو حالت از یک نوکلئون که از لحاظ مختصه ذاتی یا عدد کوانتومی دیگری به نام اسپین ایزوتوپی (ایزوسپین) با یکدیگر تفاوت دارند، در نظر بگیریم.

در این صورت اصل طرد پاولی ایجاب می‌کند که هیچ دو نوکلئونی در یک حالت که با اعداد کوانتومی فضایی و اسپینی و ایزوسپینی یکسان مشخص می‌شود، نباشند. از اصل پاولی می‌توان حتی پیامدهای بنیادی‌تری در سطح زیر هسته‌ای بدست آورد.

یک مثال عملی برای اصل طرد پاولی

به عنوان مثال ، باریونها متشکل از سه کوارک هستند و نتایج آزمایشی حاکی از آن است که ترازهای آنها تابع موجهایی دارند که نسبت به تعویض اعداد کوانتومی فضایی اسپینی و طعم دو کوارک متقارن‌اند. این امر ظاهرا به دلیل آنکه کوارکها فرمیون هستند، با اصل پاولی در تناقض است. اعتقاد راسخ فیزیکدانان به اعتبار عام اصل طرد پاولی ، به فرض و متعاقبا به تأیید یک عدد کوانتومی کوارکی جدید ، به نام رنگ انجامیده است. به این ترتیب ، هیچ دو کوارکی نمی‌توانند حالتهایی را که از نظر فضای اسپینی ، طعم و رنگ یکسان باشند، اشغال کنند.

اصل طرد پاولی در تراز فرعی

مجموعه‌ تمام حالتهای اشغال شده در هر سیستم بس الکترونی را دریای فرمی و بالاترین تراز اشغال شده در دمای صفر مطلق را انرژی فرمی می‌نامند. در نظریه فلزات که انرژیهای فرمی نوعا از مرتبه چند الکترون ولت ، یعنی خیلی بیشتر از انرژی میانگین KT = 0.02 ev برای گاز ایده‌ال در دمای معمولی هستند، از همین تصویر استفاده می‌شود.

چون اصل طرد مانع می‌شود که تمام الکترونها در پایینترین حالت انرژی تجمع کنند، بعضی از آنها حتی در دماهای بسیار پایین انرژهایی نزدیک به انرژی فرمی ، یعنی انرژیهای متناظر با دماهای چند هزار درجه دارند. بنابراین گرم کردن فلز از T = 0 تا دمای معمولی تأثیر کمی روی توزیع انرژی الکترونها ، تأثیر ناچیزی روی گرمای ویژه فلزات دارند و همچنین چرا فلزات نوعا باید تا حد گداختگی داغ باشند تا الکترونها بتوانند از آنها خارج شوند.

مشخص کردن تراز نوار رسانش توسط اصل طرد پاولی

اصل طرد ، همراه با این نکته که ترازهای انرژی الکترونی جامدات در نوارهای انرژی مشخصی توزیع شده‌اند، مبنای نظریه رسانندگی الکتریکی و بسیاری از جنبه‌های فن‌آوری جدید است. جامدی که بالاترین نوار اشغال شده آن ، طبق اصل طرد ، کاملا پر شده باشد، یک عابق الکتریکی است. الکترونهای آن بر اثر میدان الکتریکی نمی‌توانند آزادانه جریان پیدا کنند. به زبان ساده ، به‌علت اصل پاولی جایی برای رفتن ندارند.

از طرف دیگر ، اگر فقط قسمتی از بالاترین نوار اشغال شده پر باشد، جسم جامد رسانای خوبی برای الکتریسیته است. در نیم رساناها گاز بین نوار کاملا پر شده و نوار رسانش مجاز بعدی کوچک ، نوعا در حدود 2ev یا کمتر است. در دمای صفر است که در دمای معمولی بعضی از الکترونها می‌توانند از آن عبور کنند و بخشی از نوار رسانش را پر کنند در نتیجه رسانندگی الکتریکی با افزایش دما افزایش می‌یابد.

اثر فوتوالکتریک

الکترونها می‌توانند با جذب تابش به نوار رسانش نیم رسانا صعود کنند. البته با این شرط که انرژی فوتون فرودی از گاف انرژی بیشتر باشد. این اثر فوتوالکتریک ، مبنای خیلی از کاربردها از قبیل در بازکنهای خودکار است که در آنها جریان الکتریکی با تابش نور کنترل می‌شوند. وقتی که یک الکترون وارد نوار رسانش می‌شود، در دریای فرمی یک جای خالی یا حفره ، باقی می‌ماند که اشغال آن از نظر اصل پاولی مجاز است.

یک الکترون نوار رسانش می‌تواند به چنین حفره‌ای منتقل شود و با این کار ، طی فرآیندی که مشابه گسیل فوتون به هنگام پرش الکترون اتمی به حالتی با انرژی پایینتر است، نور تابش می‌شود. این فرآیند تابشی الکترون و حفره اساس کار دیود نور گسیل (LED) است. و در این فرآیند وقتی که بجای خود به خودی بودن از نوع تحریکی باشد، اساس کار لیزرهای نیم رسانا است. طرز کار ترانزیستورها ، پیوندگاههای دیویدی را هم می‌توان با ملاحظات مشابهی ، بر مبنای تولید الکترونهای رسانش در پی آلاییدگی نیم رساناها توضیح داد.