درآمدی مختصر بر مفهوم “بی نهایت”

بیگ بنگ: درک مفهوم بی نهایت خارج از توانایی انسان است، اما این عامل باعث نشده تا ریاضیدانان دست از تلاش بردارند. خب بی نهایت چیست و چرا بیش از یک بی نهایت وجود دارد؟ و بی نهایت به اضافه یک به چه معناست؟

lihuhkxjpgبه گزارش بیگ بنگ، ما اخیرا به دنبال بزرگترین عدد معنی‌دار در جهان گشتیم، اما همۀ اینها باید در مقایسه با بی نهایت بسیار خرد باشند. ریاضیدانان بی نهایت را با سخت‌گیری بالایی تعریف می کنند. اما ما تعریف وسیع‌تر و رایج‌تری را مد نظر قرار خواهیم داد: بی نهایت هر عددی را شامل می شود که محدود یا متناهی نیست. خب حالا بگذارید ذهن‌مان را محدود نکنیم و به جزئیات بی نهایت بپردازیم.

آغاز بی نهایت

برای صحبت دربارۀ بی نهایت، باید در ابتدا راهی برای تعریف آن از منظر ریاضی پیدا کنیم که البته کار ساده‌ای نیست. اگرچه مفهوم بی نهایت با یونانیان باستان شناخته می شود و در محاسبات آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس لحاظ شده است، اما بی نهایت تا اواخر دهه ۱۸۰۰ میلادی به صورت جامع تعریف نشده بود. قبل از آن، بی نهایت صرفا یک مفهوم ِ گسترده و بی شکل بود؛ بیشتر مانند یک اثر هنری با عملیات ریاضی خاص، نَه چیزی که ارزش فهمیدن داشته باشد. در حقیقت، ریاضیدانان زیادی در قرن نوزدهم از بی نهایت بعنوان مفهومی ناخوشایند و مبهم یاد می کردند و باور داشتند که هیچ جایگاهی در مباحث ریاضی جدی ندارد. در بهترین حالت، بی نهایت موضوعی بود که میتوانست در میان فلاسفه به بحث گذاشته شود. در همین مضمون بود که «جورج کانتور» نخستین شواهد از وجود بی نهایت را در سال ۱۸۷۴ منتشر کرد. او که در روسیه به دنیا آمده و در آلمان بزرگ شده بود، شواهدی شگفت‌انگیز و بحث برانگیز ارائه داد که نه تنها ماهیت بی نهایت را تعریف کرد، بلکه حتی مشخص نمود که بی نهایت‌های متعددی وجود دارد و برخی بی نهایت‌ها بزرگتر از دیگری بودند. آنچه این دستاورد را بسیار قابل توجه کرد این بود که او کل شواهد را از یک شاخه باستانی و به ظاهر بی‌مصرف از ریاضی بدست آورده بود که به نظریه «مجموعه‌ها» مشهور شد.

نظریه مجموعه‌ها

نظریه مجموعه (Set Theory) به طرز خنده‌آوری ساده به نظر می آید، اما بعنوان یکی از قوی‌ترین ابزارها در ریاضی مدرن شناخته می شود. ایدۀ اساسی آن را می توان در کارهای ارسطو جستجو کرد که بیان می دارد: اعداد می توانند در مجموعه‌هایی گروه‌بندی شوند. همین. البته خود این گزاره را می توان به صورت خلاصه در آورد: اشیا را می توان در مجموعه‌هایی گروه‌بندی کرد. می توانید اعداد ۱، ۲، ۳ و ۴ را در مجموعه {۱، ۲، ۳، ۴} قرار بدهید و آن را مجموعه «الف» نامگذاری کنید. حتی می توانید حرف «د»، ساندویچ ماهی، رمان توماس هاردی و سیاره نپتون را در مجموعه {«د»، ساندویچ ماهی، رمان توماس هاردی و سیاره نپتون} قرار دهید و آن را مجموعه «ب» بنامید.

خب لابد فکر می کنید این نظریه چیزی نیست که شما را تحت تاثیر قرار بدهد، اینطور نیست؟ اما نکته جالب توجه این است که ما فقط چند گام با آن نگرش بزرگ در راستای اِفشای بی نهایت فاصله داریم. حالا بگذارید فرض کنیم شما آن دو مجموعهای را که در بالا توصیف کردیم، با هم مقایسه می کنید. کدام یک بزرگتر است، مجموعه الف یا مجموعه ب؟ اگر در قالب عبارات فردی درباره آن فکر کنید، شاید یک تکلیف بی معنی بنظر برسد؛ برای مثال، چطور می توانید رمان توماس هاردی را با عدد ۳ مقایسه کنید؟ در اینجا، نکته کلیدی این نیست که به عبارات خاص نگاه کنید، بلکه باید به تعداد عبارات توجه کنید. چون چهار عبارت در هر دو مجموعه وجود دارد، آنها اندازه یکسانی دارند.

چطور استنباط کردیم که چهار عبارت در هر دو مجموعه وجود دارد؟ حدس می زنم اکثر شما به سادگی تعداد عباراتِ موجود در هر مجموعه را شمرده و سپس آنها را مقایسه کردهاید. اما بگذارید فرض کنیم شما هیچ چیزی درباره اعداد نمی دانستید و نحوه شمارش را بلد نبودید. در این صورت چطور می توانستید دو مجموعه را مقایسه کنید؟ خب این سوال قدری عجیب و غریب به نظر می آید، اما بخشی از آنچه نظریه مجموعه را جالب و قوی می کند این است که می تواند به طور کامل جدا از تمامی دیگر ریاضیات باشد؛ یعنی ما نیازمند راهی برای مقایسه مجموعهها بدون تکیه بر شمارش هستیم.

حتی اگر اصلا نمی دانستید چند عبارت در هر یک از آن دو مجموعه وجود دارد، همچنان مقایسه آنها می تواند کار ساده‌ای باشد. فقط باید به مجموعه «الف» نگاه کنید و با عبارتی در مجموعه «ب» تطبیق دهید. شما باید این فرایند را تا آنجایی ادامه دهید که دیگر هیچ عبارتی در مجموعه‌های الف و ب باقی نمانده باشد. با رفتن از چپ به راست، می توانید ۱ را با «د»، ۲ را با «ساندویچ ماهی»، ۳ را با رمان «توماس هاردی» و ۴ را با «سیاره نپتون» جفت کنید. بدون نیاز به دانستن دقیق اینکه چند عبارت در هر مجموعه وجود دارد، می دانیم که دو مجموعه اندازه یکسانی دارند. این عامل با عنوان «تناظر یک به یک» شناخته می شود و این اجازه را به ما می دهد تا بدون نیاز به شمردن عبارات موجود در مجموعه‌ها به مقایسه آنها بپردازیم. احتمالا می توانید ببینید که آن بخش آخر چگونه ما را به آستانه در بی نهایت می برد. تاکنون، فقط وانمود می کردیم که نمی توانیم تا چهار بشماریم، اما اگر مجموعه‌ای با عبارات بی نهایت درست کنیم، چه می شود؟ مثالی که از قدیم وجود دارد این است که یک مجموعه حاوی اعداد طبیعی می باشد و همه‌شان اعداد صحیح غیرمنفی هستند که با صفر شروع می شود.

مفهوم ریاضی الف صفر

در الف صفر، مجموعه‌ای داریم که به طور کلی از اعداد طبیعی تشکیل یافته است. حالا کدام یک بزرگتر است، الف صفر یا الف صفر ۱+؟  وقتی درباره بزرگترین اعداد متناهی حرف می زنیم، مفهوم «به اضافه ۱» همواره خود را نشان می دهد. با دلایل خوب، همواره می توانید ۱ را به عددی متناهی اضافه کرده و چیزی حتی بزرگتر بدست آورید. اما آیا این در خصوص الف صفر هم کارساز است؟ خب، بگذارید «ساندویچ ماهی» را از مجموعه خودمان قرض بگیریم و به مجموعۀ اعداد طبیعی اضافه کنیم؛ خب حالا مجموعه‌ای با عبارات «الف صفر به اضافه ۱» داریم.

همانطور که ذکر شد، تنها راه مقایسه این دو مجموعه، استفاده از تناظر یک به یک است. ساندویچ ماهی را در آغاز یک مجموعه قرار می دهیم و مجموعه «پ» نامگذاری می کنیم، اما مجموعه «ت»، مجموعه‌ای استاندارد از اعداد طبیعی خواهد بود. پس مجموعه «پ» عبارتست از {ساندویچ ماهی، ۰، ۱، ۲، ۳، ۴ …}، اما مجموعه «ت» عبارتست از {۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ …}. ما ساندویچ ماهی را با صفر، صفر را با ۱، ۱ را با ۲، ۲ را با ۳، ۳ را با ۴ و ۴ را با ۵ و … تطبیق خواهیم داد. هنوز عبارات بی نهایت در هر دو مجموعه وجود دارد و می توانیم بدون اینکه عبارتی کم بیاوریم، تا آنجا که دوست داریم از تناظر یک به یک بهره ببریم. یعنی الف صفر و الف صفر به اضافه ساندویچ ماهی دقیقا یکسان و برابر هستند.

lijcarhjpgاین یک نتیجه واقعا عجیب و دور از عقل سلیم است. گئورگ کانتور این جمله مشهور را در هنگام بحث پیرامون ریاضی ماورای بی نهایت به زبان آورد: «آن را می بینم، ولی باورش نمی کنم.» و مسئله از این هم عجیب‌تر می شود. در اینجا یک سوال مطرح می شود؛ کدام مجموعه بزرگتر است، مجموعه اعداد طبیعی زوج یا مجموعه‌ای که تمامی اعداد آن طبیعی‌اند؟ یک دیدگاه متناهی به ما می گوید که همه اعداد زوج و فرد باید دو برابر همه اعداد زوج باشند، اما تناظر یک به یک مشخص می کند که تا زمانی نظریه مجموعه در کار است، آن دو برابر هستند. وقتی بی نهایت را به ۲ ضرب می کنید، هنوز با بی نهایت روبرو هستید.

حالا اجازه دهید یک چالش جدی را مطرح کنیم. خب در مورد مجموعه‌ای با اعداد تماما منطقی چه شرایطی حاکم است؟ یعنی تمام اعدادی که می توانند بعنوان کسری از دو عدد صحیح بیان شوند. ما درباره مجموعۀ بی نهایت بزرگ {…، ۵/۱، ۴/۱، ۳/۱، ۲/۱، ۱/۱} حرف می زنیم که مجموعه بی نهایت بزرگ {…، ۵/۲، ۴/۲، ۳/۲، ۲/۲، ۱/۲} و مجموعه بی نهایت بزرگ {…، ۵/۳، ۴/۳، ۳/۳، ۲/۳، ۱/۳} و غیره پس از آن مجموعه وجود دارند. ما در مورد مقداری بی نهایت از مجموعه‌های بی نهایت حرف می زنیم.

اگر قرار باشد چیزی ما را به عدد بی نهایت بزرگتری از الف صفر نزدیکتر کند، باید فقط به شیوه فوق عمل کرد، این طور نیست؟ می توانیم تناظر یک به یک را میان همه اعداد طبیعی و همه اعداد منطقی انجام دهیم، به طوری که ۱ صورت کسر باشد، اما همچنان کفایت نمی کند. ولی هنوز می توان یک تناظر یک به یک میان دو مجموعه تشکیل داد. برای اینکه نشان دهیم چطور می توان چنین کاری انجام داد، باید جدول ساده‌ای درست کنیم. بگذارید تمامی اعداد منطقی را که در آن ۱ صورت کسر است، در ردیف اول قرار دهیم، همه اعداد منطقی با ۲ به عنوان صورت کسر در ردیف دوم قرار دهیم و این کار را تا زمانی انجام دهیم تا ستون‌ها و ردیف‌های بی‌شماری داشته باشیم:

۱/۱, ۱/۲, ۱/۳, ۱/۴, ۱/۵ …

۲/۱, ۲/۲, ۲/۳, ۲/۴, ۲/۵ …

۳/۱, ۳/۲, ۳/۳, ۳/۴, ۳/۵ …

۴/۱, ۴/۲, ۴/۳, ۴/۴, ۴/۵ …

۵/۱, ۵/۲, ۵/۳, ۵/۴, ۵/۵ …

infinity symbol promoخب می دانیم که جالب به نظر نمی رسد، اما در اینجا شاهد بخش‌های آغازین یک جدول بی نهایت هستیم و همه اعداد منطقی ممکن در اینجا نمایان خواهند شد. این واقعیت که ما توانسته‌ایم در هر صورت این جدول را بسازیم، اعلام می دارد که تناظر یک به یک امکان‌پذیر است، اما بگذارید ببینیم دقیقا چطور می توان این کار را انجام داد. در ابتدا، عدد طبیعی اول ۰ را با ۱/۱ تطبیق دهید. بعد، به قسمت پایین ستون بروید و ۱ را با ۱/۲ تطبیق بدهید. حالا به صورت مورب به بالا بروید و ۲ را با ۲/۱ تطبیق بدهید. سپس، به ستون اول بازگردید و ۳ را با ۱/۳ تطبیق دهید. در صورت حرکت به صورت مورب، ۴ با ۲/۲ و ۵ با ۳/۱ مطابقت پیدا می کند. می توانیم این کار را برای هر دو مجموعه به طور بی نهایت انجام داد. این واقعیت که سرعت حرکت ما در اعداد طبیعی بسیار سریع تر از اعداد منطقی است، اهمیت ندارد. آنچه اهمیت دارد این است که راهی برای آرایش اعداد منطقی در یک مجموعه بی نهایت پیدا کرده‌ایم.

بی نهایتِ غیرقابل شمارش

همۀ مجموعه‌هایی که تاکنون در موردشان بحث کردیم، قابل شمارش بوده‌اند؛ ایدۀ فوق توسط «گئورگ کانتور» مطرح شده و پیچیدگی چندانی ندارد: مجموعه قابل شمارش به هر مجموعه‌ای اطلاق می شود که در آن، همه عبارات می توانند با یک عدد طبیعی مرتبط باشند. حتی اگر زمان نامحدودی برای انجام آن طول بکشد، هر عبارت در مجموعه می تواند شمرده شود. ما قبلا تعیین کرده‌ایم که مجموعه اعداد منطقی قابل شمارش است، علی‌رغم اینکه ظاهرا بسیار بزرگتر از مجموعه اعداد طبیعی است. به نظر می رسد که صرفا اضافه کردن، ضرب کردن و حتی جذرگیری از اعداد هرگز نمی تواند یک عدد بی نهایت ایجاد کند؛ انجام همین عملیات با الف صفر هرگز زمینه را برای حصول سطح بزرگتری از بی نهایت فراهم نخواهد کرد. اگر می خواهیم به الف-صفر برسیم (مرتبه بعدی بی نهایت)، باید به چیزی دست پیدا کنیم که بی نهایتِ غیرقابل شمارش باشد.

dykvtfjldvjpgاستدلال قطری کانتور

یک مجموعۀ بی نهایت ممکن است دارای همان کاردینالیتی باشد که زیر مجموعه مناسب آن دارد. مثلا مجموعه اعداد طبیعی با مجموعه اعداد زوج می تواند تناظر یک به یک برقرار کند. با این وجود، بی نهایت‌هایی با کاردینالیتی‌های متفاوت وجود دارند که استدلال قطری کانتور وجود آنها را اثبات می نماید. جورج کانتور بهترین توضیح را برای یک مجموعه بی نهایت و غیرقابل شمارش ارائه کرد. او در سال ۱۸۹۱ در طی مقاله‌ای نشان داد که مجموعه های بی نهایتی وجود دارند که قادر نیستیم اعضای آنها را در تناظر یک به یک با مجموعه اعداد طبیعی قرار بدهیم. چنین مجموعه‌هایی در حال حاضر به عنوان غیر قابل شمارش شناخته می شوند. او بیان داشت که اگر s1,s2,…,sn شامل تمامی شمارش‌های ممکن از T باشد، آنگاه همواره عضوی از T وجود خواهد داشت که در بین s1, s2,… نخواهد بود. برای اثبات این، مجموعه‌هایی از T را به شکل زیر انتخاب می کنیم:

Sequence 1 = (1, 1, 1, 1, 1…) = .11111…

Sequence 2 = (0, 0, 0, 0, 0…) = .00000…

Sequence 3 = (0, 1, 0, 1, 0…) = .01010…

Sequence 4 = (1, 0, 1, 0, 1…) = .10101…

Sequence 5 = (1, 1, 0, 0, 1…) = .11001…

…and so on and so forth.

پس، اگر موفق به ایجاد تعداد بی نهایت از این توالی ها بشویم، آیا اعداد حقیقی را هم در دستور کار خواهیم داشت یا خیر؟ برای این کار، نیاز به ایجاد عددی حقیقی داریم که نمی تواند در هیچ کدام از توالی های بی نهایتی که ایجاد کرده ایم، وجود داشته باشد. کانتور این ایده را به پیش کشید که هر یک از توالی ها را باید با یکی از عبارات ویژه آن مرتبط سازیم. بدین ترتیب، باید توالی ۱ با اولین عبارتش (۱)، توالی ۲ با دومین عبارتش (۰)، توالی ۳ با عبارت سومش (۰) و غیره مرتبط باشد. به دیگر سخن، او از طریق مجموعه اقدام به ترسیم یک قطری کرده بود و هر عددی که قطری از آن عبور می کند، به بخشی از این مجموعه تبدیل می شود. سپس، توالی (…، ۱، ۰، ۰، ۰، ۱) را در اختیار داریم. اینجاست که مسائل قدری جالب می شوند.

حالا آن توالی را معکوس کنید؛ در این صورت، به توالی (…، ۰، ۱، ۱، ۱، ۰) یا …۰۱۱۱۰ می رسیم که از قبل می دانستیم یک عدد حقیقی است زیرا عدد حقیقی به هر عددی گفته می شود که از ارقام متناهی یا نامتناهی تشکیل یافته باشد. اما آیا یکی از مجموعه اعداد حقیقی است که ما تشکیل دادیم؟ نمی تواند توالی ۱ باشد زیرا عبارات اول شان با هم مطابقت ندارد؛ نمی تواند توالی ۲ باشد زیرا عبارات دوم‌شان با هم مطابقت ندارد؛ نمی تواند توالی ۳ باشد زیرا عبارات سوم شان با هم تطبیق داده نمی شوند. خب حالا می دانید قضیه از چه قرار است. مهم نیست کدام مجموعه مد نظرتان باشد، یکی از عبارت ها با یک عبارت از توالی صفر مطابقت نخواهد داشت؛ یعنی ایجاد مجموعه‌ای از اعداد که همگی حقیقی باشند یا قرار دادن آنها در تناظر یک به یک با اعداد طبیعی امکان پذیر نیست. مجموعه‌ای که همه اعداد آن حقیقی باشند، پیوستار نامگذاری شده است. پیوستار، بی نهایتی بزرگتر از الف صفر است. بله، این همان پیوستار است.

اما چقدر بی نهایت‌تر از الف صفر می باشد؟ تا آنجا که گئورگ کانتور به این مسئله پرداخته بود، هیچ مجموعه‌ای با یک کاردینالیتی میان مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی وجود ندارد. به دیگر سخن، اگر اعداد طبیعی الف صفر بودند، در این صورت، همه اعداد حقیقی می توانستند الف یک باشند. فرضیه پیوستار برای نخستین‌بار در سال ۱۸۷۷ به پیشنهاد رسید. ۱۳۴ سال بعد، ریاضیدانان هنوز در تلاش هستند تا صحت یا عدم صحت آن را به اثبات برسانند.

ترجمه: منصور نقی لو/ سایت علمی بیگ بنگ

منبع: gizmodo.com

(13 نفر , میانگین : 4٫77 از 5)
لینک کوتاه مقاله : https://bigbangpage.com/?p=77535
منصور نقی لو

منصور نقی لو

کارشناسی مترجمی زبان انگلیسی. علاقمند به نجوم، کیهان شناسی، فرگشت، اکتساب زبان اول، یادگیری زبان دوم و بعنوان نویسنده علمی- نجومی در وب سایت بیگ بنگ فعالیت می کند.

شما ممکن است این را هم بپسندید


۳ پاسخ‌ها

  1. خسرو گفت:

    بی نهایت نباید ابتدا داشته باشد . مجموعه ای که ابتدا دارد در حال رشد است می توان چیزی به آن افزود .

  2. آريا گفت:

    چطور است بی نهایت را به توان یک برسانید (&)^١یا به توان دو یا سه یا چهار یا حتی بینهایت به توان بینهایت ؟؟ نتیجه ؟؟؟ و ادامه دهیم بینهایت به توان سه بار بی نهایت تا بینهایت نتیجه؟؟بینهایت بتوان n& خواهد بود خود n هم میتواند بینهایت شود پس در نتیجه مقداری خواهیم داشت &به توان &iنتیجه = افزایش بی نهایت ما تا بی نهایت در واقع میتوانید بینهایت اول را عددی فرضی گرفته و به توان برسانید چناچه بینهایت را با عدد یک به توان برسانید یک & داریم و چناچه با عدد ٢ به توان برسانید دو بینهایت و همینطور تا ٣،۴،۵،۶،٠٠٠٠٠خوب نتیجه ؟فرض کنید بینهایت مجهولی بنام x باشد پس بی نهایت مفهوم ذهنی و ریاضی پیدا کرد که میتوان در معادلات از آن استفاده کرد نتیجه؟؟؟ بینهایت هویتی پیدا کرده که قابل فهم شده حالا ما بنیانی پایه گذاری کرده ایم به نام ریاضی بی نهایت که فرقش با ریاضی معمولی در اندازه مقدارها است به راحتی میتوان فهمید که معادلات مجهولی بی نهایتی بی معنی خواهد شد چون شما درک صحیحی از این مقدارها ندارید حداقل در دنیای مادی !! پس بینهایت تعریف نسبی در دنیای مادی به حساب خواهد آمد که نسبت به کمتر از بینهایت صدق میکند معادله ١-&=؟؟؟پس بینهایت بعلاوه یک بیمعناست نتیجه بینهایت منهای یک معنی دار و بعلاوه یک بی معنی میباشد نتیجه شما نمیتوانید از مرزهای بی نهایت با ابزار ریاضی فراتر بروید با درود

  3. ako گفت:

    بین صفر ویک بی نهایت عدد وجود دارد ولی در نهایت به یک میرسیم وعدد بعدی توالی است از صفر ویک این چیزی را به ما نمی رساند؟

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.