بیگ بنگ: در این مقاله به روند تاریخی و علمی چگونگی  سیر علم از ریاضیات انتزاعی به واقعیت فیزیکی اشاره‌ای می شود. ارتباط‌ها و کاربردهای رازآمیز زیادی در تاریخ این مبحث وجود دارد اما در اینجا به کاربرد هندسه‌ای مدرن بنام هندسه ریمانی که خود داستان علمی حیرت‌انگیزی دارد درنظریه نسبیت عام آلبرت اینشتین که به گفته بسیاری بزرگترین دستاورد فکری تاریخ بشریت می باشد، پرداخته می شود.

هندسه اقلیدسی و اصل توازی

اقلیدس در حدود 300 سال قبل از میلاد روش هندسه یونانی و نظریه اعداد را در اصول سیزده جلدی‌اش منتشر کرد. این شاهکار، در واقع جمع‌آوری کارهای مهم پیشینیان اقلیدس در سده‌های قبل‌تر بود. اثر جاودانه اقلیدس بیش از هر اثری در تاریخ بشریت خوانده شده است. اقلیدس هندسه خود را بر اساس پنج فرض بنیادی بنام بنداشت یا اصول موضوع بنا نهاد. همچنین روش بنداشتی ¹ اقلیدس الگویی برای ریاضیات محض تبدیل شده است. چهار اصل اول اقلیدس به قرار زیر می باشد:

اصل اول اقلیدس: به ازای هر نقطه P  و هر نقطه Q  که با P مساوی نباشد، خط یکتایی مانند L وجود دارد که بر P و Q  می گذرد. به عبارت دیگر، هر دو نقطه خط یکتایی را مشخص می سازند.

اصل دوم اقلیدس: به ازای هر پاره خط AB و هر پاره خط CD نقطه یکتایی چون E وجود دارد به طوری که B  بین A و E است و پاره خط  CD  با پاره خط BE  قابل انطباق است.

اصل سوم اقلیدس: به ازای هر نقطه O  و هر نقطه A که با O مساوی نباشد دایره‌ای به مرکز O  و شعاع OA  وجود دارد.

اصل چهارم اقلیدس: همه زاویه‌های قائمه با یکدیگر قابل انطباق هستند.

اصل پنجم اقلیدس: به ازای هر خط L  و نقطه P  ناواقع بر آن تنها یک خط مانند M وجود دارد که از P  می گذرد و با L  موازی است.(اصل توازی اقلیدس). چهار اصل اول اقلیدس بدون هیچ مشکل پذیرفته شده بود اما اصل پنجم یعنی اصل توازی به یکی از بزرگترین چالش‌های تاریخ ریاضیات تبدیل شده بود، اما چرا؟ یک بنداشت یا اصول موضوع باید چنان بدیهی باشد که کسی نتواند در درستی آن تردید کند اما اصل توازی  این خصوصیت را نداشت و ریاضی‌دانان در طی دو هزار سال تلاش کردند تا آن را از چهار اصل دیگر اقلیدس نتیجه بگیرند یا اصل دیگری که بدیهی تر بود را جایگزین این اصل کنند اما هیچکدام از این تلاش‌ها نتیجه‌ای در بر نداشت.

ورود گاوس و کشف هندسه نا اقلیدسی

همان‌طور که اشاره شد اصل مشهور توازی که میگوید از هر نقطه خارج از یک خط مفروض، تنها یک خط را میتوان به موازات آن خط وجود داشته باشد، به نظر می رسید که از سایر اصول مستقل نباشد. کارل فریدریش گاوس که به اعتقاد بسیاری بزرگترین ریاضی دان تمام دوران‌ها میباشد به این مسئله حمله کرد و به این  نتیجۀ تکان‌دهنده دست یافت که هندسه اقلیدسی تنها هندسه ممکن نیست! او بعد از سال‌ها تلاش در سال 1820 قضایای اصلی هندسه غیر اقلیدسی را تدوین کرد ولی وی نتایجی را که کشف کرده بود را به دلیل سیطره نظام فلسفه کانتی که هندسه اقلیدسی را تنها شیوه تفکر در مورد فضا میدانست، آشکار نکرد. بسیار عجیب است که دیگر غول تاریخ اندیشه یعنی آلبرت اینشتین نیز مانند گاوس از قبول دینامیک بودن کیهان که معادلات خودش آن را نشان میداد، تنها به دلیل تفکرات موجود در دوران خود مبنی بر ازلی بودن جهان و نه آغازی داشتن، دست کشید. در سال های 1829 و 1832 لوباچفسکی و یانوش بویوئی به طور مستقل از هم مجددا به نتایج گاوس رسیدند ولی کشفیات خود را منتشر کردند. یانوش بویویی، این جمله معروف را بعد از کشف تاریخی خود به یادگار گذاشت:«من از هیچ، دنیایی تازه و شگفت‌انگیز ساخته‌ام.»

نکته عجیب دیگر در تاریخ اندیشه محض این است که گاهی اندیشه و کشفی در ذهن چند شخص بشکل تقریبا همزمان پدیدار می شود. مثلا کشف حسابان در سده هجدهم بوسیله نیوتن و لایبنیتس و در اینجا کشف هندسه نااقلیدسی در سده نوزدهم در زمره اینگونه رویدادها می باشد. نکته ای جالب در مورد بویویی، نامه‌ای بود که فارکاش بویویی  به پسرش یانوش نوشت: تو دیگر نباید در راه توازی‌ها تلاش کنی، این شب بی پایان را که همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است سپری کرده‌ام. استدعا دارم که دانش موازی‌ها را رها کن…

ولی بویویی پسر از هشدار پدر نهراسید، زیرا اندیشه تازه‌ای در سر می پرورانید و همان‌طور که گفته شد سرانجام به هندسه‌ای جدید رسید. پدر یانوش که خود ریاضی‌دان بود نسخه‌ای از کشفیات پسرش را به دوست دیرین خود یعنی کارل فریدریش گاوس افسانه‌ای فرستاد. گاوس این نامه را به بویویی پدر نوشت:«تمام محتوای کاری را که پسر شما کرده و نتایجی را که به آنها رسیده است، به طور کامل با تحقیقات خودم که بمدت سی تا سی و پنج سال تمام فکر مرا به خود مشغول داشته، یکی است.» یانوش از جواب این ریاضی‌دان بزرگ ناامید شد اما به هر ترتیب از او هم نامی در تاریخ ریاضیات مانده است. لباچفسکی نیز در 1840 مقاله خود در زمینه هندسه نااقلیدسی را برای گاوس فرستاد. گاوس در نامه‌ای در 1846 به شوماخر، آن را مورد ستایش قرار داد و در عین حال حق تقدم خود را در کشف هندسه نااقلیدسی تکرا کرد. هندسه خاصی که گاوس، بویویی و لباچفسکی کشف کرده‌اند، به هندسه هذلولوی مشهور است. در این هندسه شگفت‌انگیز که مجموع زوایای داخلی مثلث کمتر از 180 درجه می باشد بجای اصل پنجم اقلیدس، بنداشت هذلولوی به قرار زیر وجود دارد:

بنداشت هذلولوی: یک خط L و یک نقطه P ناواقع بر L وجود دارد، چنانکه حداقل دو خط موازی با L  از نقطه P  میگذرد!

هندسه ریمانی

برنهارت ریمان، که یکی از دانشجویان گاوس بود، عمیق‌ترین شناخت در هندسه را نه تنها در منطق آن که بر خود آن پیدا کرده بود. او در 1854 بر اساس هندسه ذاتی یک رویه، که گاوس ان را کشف کرده بود، هندسه‌ای با خمیدگی رویه ثابت و مثبت کشف کرد در حالی که هنسه هذلولوی دارای خمیدگی رویه بشکل ثابت منفی است. در هندسه اقلیدسی از یک نقطه P ناواقع بر L تنها یک خط به موازات L  وجود دارد. در هندسه هذلولوی بیش از یک خط موازی وجود دارد. هندسه سومی(هندسه ریمانی) وجود دارد که در ان از نقطه P  نمیتواند خطی به موازات  L  وجود داشته باشد! یعنی هندسه‌ای که در آن خط‌های موازی وجود ندارد.

هندسه فضای فیزیکی چیست؟

آلبرت اینشتین که بزرگترین فیزیکدان همه دوران‌ها می باشد در سال 1905 نظریه نسبیت خاص را کشف کرد. این نظریه تنها به ناظرانی که از قانون اول نیوتن پیروی می کنند(ناظر لخت) مربوط می شود. قانونی که بیان می کند اگر نیرویی وجود نداشته باشد یا برایند نیروها صفر باشد برای همیشه سکون یا حرکت با سرعت ثابت را خواهیم داشت. اما آلبرت به دنبال نظریه‌ای دیگر بود که علاوه ناظران لخت شامل ناظران نالخت که از قانون دوم نیوتن نیز پیروی می کنند نیز باشد، یعنی وجود شتاب یا تغییر سرعت.

هندسه فضای فیزیکی در نسبیت خاص، اقلیدسی بود یعنی هندسه‌ای تخت با انحنای صفر. اینشتین، از سال 1905 در پی فرمول‌بندی و کشف نظریۀ دیگری بنام نسبیت عام شد. بر طبق ایده اینشتین، فضا و زمان، جدایی ناپذیرند و هندسه فضا-زمان متاثر از ماده است، طوری که پرتوهای نور بر اثر نیروی گرانش، خمیده می شوند(پرتوهای نور مسیر منحنی را طی میکنند). دیگر فضا مانند جعبه تهی نیوتنی نیست که ماده درون آن گذاشته شود تاثیری بر کرانه‌های آن نداشته باشند، مسئله خیلی پیچیده‌تر از آن است که اقلیدس یا لباچفسکی می پنداشتند. در واقع هندسه فضا-زمان اینشتینی به شکل هندسه ریمانی توسط ماده موجود در آن انحنا پیدا می کند و این خمیدگی فضا و زمان که شاید عجیب‌ترین ایدۀ تاریخ تفکر بشریت باشد همان نیروی گرانش است، نیرویی که در نظریه نیوتنی بشکل نیرویی نامرئی بین دو جرم بود، در نظریه اینشتین-نسبیت عام-به شکل انحنای ریمانی فضا-زمان می باشد.

پاسخ مشهور پوانکاره به این پرسش که کدام هندسه درست است

اگر هندسه دانشی تجربی بود نمی توانست دانشی دقیق باشد و پیوسته دستخوش تجدید نظر قرار می گرفت… بنابراین بنداشت‌های هندسی نه شهودهای ترکیبی قبلی هستند و نه حقایق تجربی، بلکه قرار داد هستند. انتخاب ما از میان همه قراردادهای ممکن، توسط حقایق تجربی رهبری می شوند. ولی انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هرگونه تناقض محدود می شود. لذا این اصول هستند که می توانند دقیقا درست باقی بمانند، حتی اگر قوانین تجربی که موجب پذیرفته شدن آنها شده‌اند تقریبی باشند. پس درباره این پرسش که آیا هندسه اقلیدسی درست است؟ چه باید اندیشید؟ این پرسش بی‌معنی است، درست مثل اینکه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاس‌های قدیم نادرست‌اند؟ ایا مختصات دکارتی درست است و مختصات قطبی نادرست؟… هیچ هندسه‌ای نمی تواند درست‌تر از هندسه دیگر باشد، تنها ممکن است مناسب‌تر باشد.

نتیجه‌گیری

اصل موازی در هندسه اقلیدسی در نظر ریاضیدانان یک اصل بدیهی نبود، از این‌رو تلاش کردند تا آن را از سایر اصل‌های اقلیدس استنتاج کنند که آنها را بدیهی بحساب می آوردند. آیا چنین اثباتی در مورد اصل توازی امکان‌پذیر است؟ در قرن نوزدهم توسط گاوس، لباچفسکی، بویویی و ریمان، امکان‌ناپذیری استنتاج اصل توازی از سایر اصلها اثبات شد. این امر به کشف هنسه های نااقلیدسی انجامید که در انها بجای یک خط موازی، هیچ خطی موازی و یا بیش از یک خط موازی وجود دارند. در واقع تنها با تغییر دادن اصل پنجم، هندسه‌هایی کاملا معتبر و سازگار ایجاد کردند. اما اینکه چگونه چنین بازی ریاضی‌ای منجر به کاربرد در نظریه اینشتین در مورد ماهیت گرانش  یعنی کشف فضای ریمانی شد قطعا قابل درک  و توضیح نیست. این رازی است که بیش از هر راز دیگری برای ادمی عجیب می باشد که اگر ابداعات ریاضی صرفا محصول تخیلات ریاضی‌دانان است پس چگونه می شود که برخی از آنان کاربردهای فیزیکی پیدا می کنند؟

با کشف هندسه نااقلیدسی توسط گاوس، این دیدگاه که موجودات ریاضی، تنها مثالی(به معنی افلاطونی) از موجودات محسوس هستند دیگر پذیرفتنی نیست، و نشان میدهد که ریاضیات و واقعیت به طور کامل از هم مستقل شده‌اند چرا که تخیل، انتزاع وازادی به جوهره و ماهیت غریب ریاضیات تبدیل شده است و در این حالت تماس ریاضیات و واقعیت فیزیکی، اسرارآمیزتر از همیشه شده است. و این بزرگترین و غیرقابل درک‌ترین رازی است که نوع بشر با آن مواجهه شده است.

پی نوشت:

1-بنداشت یا اصول موضوع، حکمی است که بدون هیچگونه توجیهی، پذیرفته می شود.

نویسنده: میلاد اسکندردوست/ سایت علمی بیگ بنگ

منابع برای مطالعه بیشتر:

EUCLIDEAN  AND  NON-EUCLIDEAN GEOMETRIES  DEVELOPMENT AND HISTORY THIRED EDITION/

MARVIN JAY GREENBERG

معادلات دیفرانسیل و کاربردهای آنها/ جورج اف.سیمونز